La cicloide: propiedad tautócrona

Etiquetas: 

Entre otras muchas propiedades la cicloide satisface la propiedad tautócrona.
Esto significa que cualquier partícula situada sobre una cicloide dispuesta tal y como muestra la aplicación interactiva invierte el mismo tiempo en llegar por la acción del campo gravitatorio a la posición inferior de la cicloide.
Es decir, el tiempo invertido por una partícula en el descenso, es independiente de la posición inicial.

 

 

 

 

PROPIEDAD TAUTÓCRONA (aspectos matemáticos):

Consideraremos media cicloide de ecuaciones paramétricas:

$\left.
\begin{array}{l}
x = R t - R sen(t)\\
y= R cos(t) - R
\end{array}
\right \}$
con $ t \in \left [ 0, \pi \right ] $

El punto O es el origen y sobre ella consideraremos dos puntos, A y B, correspondientes a los valores del parámetro $t$ igual a $\beta_1$ y a $\beta_2$
dibujo parcial de una cicloide con dos puntos situados sobre ella
Queremos calcular el tiempo que invierte una partícula colocada en A (inicialmente en reposo) en pasar a la posición B. Los cálculos se harán en función de los valores del parámetro de la curva que caracteriza la posición de ambos puntos.

En un punto de la trayectoria determinada por A y por B y correspondiente a un valor del parámetro $t$ (lógicamente $\beta_1 \leq t \leq \beta_2$) es sabido que la velocidad de la partícula es igual a $v_t = \sqrt{2 g h}$, donde $h$ es la algura vertical recorrida; es decir: $v_t = \sqrt{2 g R (cos(\beta_1) - cos(t))}$.
Como $cos(\beta) = cos^2(\frac{\beta}{2}) - sen^2(\frac{\beta}{2}) = 2 cos^2(\frac{\beta}{2})-1$, podemos escribir:
$v_t=\sqrt{4 g R (cos^2(\frac{\beta_1}{2}) - cos^2(\frac{t}{2})) }= 2 \sqrt{g R (cos^2(\frac{\beta_1}{2}) - cos^2(\frac{t}{2})) }$

Analicemos ahora el espacio recorrido sobre la curva: ds: $ds = \sqrt{ (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \sqrt{(R - R cos(t) )^2 + (-R sen(t))^2} dt =$
$=R \sqrt{2(1-cos(t))} dt= R \sqrt{2} \sqrt{ 2 sen^2(\frac{t}{2})} dt = 2 R sen(\frac{t}{2}) dt$

Veamos ahora el tiempo: $dT = \frac{ds}{v} = \frac{2 R sen(\frac{t}{2}) dt}{ 2 \sqrt{g R (cos^2(\frac{\beta_1}{2}) - cos^2(\frac{t}{2})) } } = \sqrt{\frac{R}{g}}\frac{sen(\frac{t}{2}) dt}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta_1}{2}) - cos^2(\frac{t}{2})}}$

Para calcular el tiempo transcurrido desde al pasar de A a B tenemos que integrar y tener en cuenta que el tiempo inicial es igual a cero (empezamos a contar en el momento en el que comienza a moverse en dirección a B la partícula que está en reposo en A.
$T= \sqrt{\frac{R}{g}} \int_{\beta_1}^{\beta_2} \frac{sen(\frac{t}{2})}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta_1}{2})-cos^2(\frac{t}{2})}} dt $.
Hacemos el cambio de variable siguiente: $cos(\frac{t}{2}) = u$, (por tanto: $sen(\frac{t}{2}) dt = -2 du$) y obtenemos:
$T = \sqrt{\frac{R}{g}} \int_{ cos(\frac{\beta_2}{2}) }^{cos(\frac{\beta_1}{2}) }\frac{2 du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta_1}{2})-u^2}}$
Hacemos ahora un segundo cambio de variable: $x \; cos(\frac{\beta_1}{2})= u $ ( por lo que: $cos(\frac{\beta_1}{2}) dx = du$)
Realizando unos pequeños cálculos obtenemos:
$T= \sqrt{\frac{R}{g}} \int_{\frac{cos(\frac{\beta_2}{2})}{cos(\frac{\beta_1}{2})}}^{1} \frac{2 dx}{\sqrt{1-x^2}}$
Como los valores de la variable en el intervalo de integración tienen valor absoluto menor o igual que 1, tenemos que:
$T= 2 \sqrt{\frac{R}{g}} \left [ arcsen(x) \right ]_{\frac{cos(\frac{\beta_2}{2})}{cos(\frac{\beta_1}{2})}}^{1} $
$T = 2 \sqrt{\frac{R}{g}} \left [ \frac{\pi}{2} - arcsen \left ( \frac{cos(\frac{\beta_2}{2})}{cos(\frac{\beta_1}{2})} \right ) \right ]$
La fórmula anterior relaciona el tiempo de descenso al pasar la partícula de la posición A (correspondiente al parámetro $\beta_1$ de la expresión paramétrica de la cicloide) a la posición B (correspondiente al valor del parámetro $\beta_2$). Esta fórmula será utilizada en la implementación del archivo de Geogebra.

Calculemos el tiempo invertido en alcanzar el punto más bajo de la cicloide que es el que corresponde al valor del parámetro $\beta_2 = \pi$.
$T_{max} = \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
Vemos que ese tiempo es independiente de la posición de partida, hecho que confirma la propiedad tautócrona de la cicloide.

IMPLEMENTACIÓN CON GEOGEBRA

Para la implementación del archivo con el programa Geogebra, he dibujado un arco de cicloide completo usando parámetros desde 0 hasta $2 \pi$ (para permitir que las partículas una vez que lleguen abajo, continúen su movimiento ascendente).
$a:\left.
\begin{array}{l}
x = R t - R sen(t)\\
y= R cos(t) - R
\end{array}
\right \}$
con $ t \in \left [ 0, 2 \pi \right ] $

Hay que definir R antes de definir la curva y hay que definir también el valor de g.
He utilizado un deslizador t (que está oculto) que toma valores desde 0 hasta $2 T_{max}$ con incrementos pequeños y con una velocidad regulada por el deslizador que teóricamente permite ajustar la gravedad (y que en la práctica lo único que hace es influir en la velocidad del deslizador oculto t).
Colocaremos tres puntos en posiciones fijas correspondientes a las posiciones iniciales de los cuatro puntos y con valores del parámetro iguales a: $0$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{3 \pi}{4}$
A continuación, usaremos la fórmula que hemos encontrado en el apartado anterior: $T = 2 \sqrt{\frac{R}{g}} \left [ \frac{\pi}{2} - arcsen \left ( \frac{cos(\frac{\beta_2}{2})}{cos(\frac{\beta_1}{2})} \right ) \right ]$. La usaremos para calcular $\beta_2$ en función del valor de $T$ (que vendrá dado por el valor del deslizador t) y en función del valor del parámetro $\beta_1$ que caracteriza las posiciones iniciales en reposo de las cuatro partículas.
Sin demasiadas dificultades se obtiene: $\beta_2 = 2 arccos \left [ cos \left ( \frac{T}{2} \sqrt{\frac{g}{R}} \right ) cos(\frac{\beta_1}{2}) \right ] $
Como vamos a tener que calcular valores $\beta_2$ de forma continua puesto que el valor de T dado por el deslizador t va cambiando en todo momento, definimos una función auxiliar para facilitar los cálculos (y ocultamos la función para que no se vea la gráfica):
$f(x) = 2 arccos \left [ cos \left ( \frac{t}{2} \sqrt{\frac{g}{R}} \right ) cos(\frac{x}{2}) \right ]$ (escribimos t minúscula para que recoja el valor del deslizador t y usamos x para sustituirlo oportunamente por los cuatro parámetros de las posiciones de partida de las partículas.
Para calcular la posición de la segunda partícula (partícula A de color rojo), que parte de la posición $\beta_1 = \frac{\pi}{4}$, en un instante dado por el valor t del deslizador, escribimos lo siguiente $A=a(f(\frac{\pi}{4}))$. (Hay que recordar que $a$ es el nombre que hemos dado a la curva en Geogebra).

Confío que las explicaciones sirvan para entender la implementación con Geogebra.


 

 

A continuación se puede ver un interesante vídeo relacionado con estos asuntos y elaborado por los profesores Juan Bragado, Jose Luis Ronda y Juan Luis López (IES Historiador Chabás, Denia). Dirección en YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=1cpoY_toqSA

Añadir nuevo comentario